y^4=15 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^4=15

Вы ввели

 4     
y  = 15

$$y^{4} = 15$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{4} = 15$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 y + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{15}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 y + 0\right)^{4}} = - \sqrt[4]{15}$$
или
$$y = \sqrt[4]{15}$$
$$y = - \sqrt[4]{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = 15^1/4

Получим ответ: y = 15^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = -15^1/4

Получим ответ: y = -15^(1/4)
или
$$y_{1} = - \sqrt[4]{15}$$
$$y_{2} = \sqrt[4]{15}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 15$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 15$$
где
$$r = \sqrt[4]{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{15}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{15}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{15} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{15} i$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$y_{1} = - \sqrt[4]{15}$$
$$y_{2} = \sqrt[4]{15}$$
$$y_{3} = - \sqrt[4]{15} i$$
$$y_{4} = \sqrt[4]{15} i$$

Быстрый ответ

      4 ____
y1 = -\/ 15 

$$y_{1} = - \sqrt[4]{15}$$

     4 ____
y2 = \/ 15 

$$y_{2} = \sqrt[4]{15}$$

        4 ____
y3 = -I*\/ 15 

$$y_{3} = - \sqrt[4]{15} i$$

       4 ____
y4 = I*\/ 15 

$$y_{4} = \sqrt[4]{15} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

    4 ____   4 ____     4 ____     4 ____
0 - \/ 15  + \/ 15  - I*\/ 15  + I*\/ 15 

$$\left(\left(\left(- \sqrt[4]{15} + 0\right) + \sqrt[4]{15}\right) - \sqrt[4]{15} i\right) + \sqrt[4]{15} i$$

=

0

$$0$$

произведение

   4 ____ 4 ____    4 ____   4 ____
1*-\/ 15 *\/ 15 *-I*\/ 15 *I*\/ 15 

$$\sqrt[4]{15} i - \sqrt[4]{15} i \sqrt[4]{15} \cdot 1 \left(- \sqrt[4]{15}\right)$$

=

-15

$$-15$$

Численный ответ

y1 = -1.96798967126543*i

y2 = 1.96798967126543

y3 = 1.96798967126543*i

y4 = -1.96798967126543

График