y^6-y=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: y^6-y=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеy 6 − y = 0 y^{6} - y = 0 y 6 − y = 0 Очевидно:y0 = 0 далее, преобразуем1 y 5 = 1 \frac{1}{y^{5}} = 1 y 5 1 = 1 Т.к. степень в ур-нии равна = -5 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень -5-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:1 1 y 5 5 = 1 1 5 \frac{1}{\sqrt[5]{\frac{1}{y^{5}}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1}} 5 y 5 1 1 = 5 1 1 илиy = 1 y = 1 y = 1 Получим ответ: y = 1 Остальные 4 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = y z = y z = y тогда ур-ние будет таким:1 z 5 = 1 \frac{1}{z^{5}} = 1 z 5 1 = 1 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеe − 5 i p r 5 = 1 \frac{e^{- 5 i p}}{r^{5}} = 1 r 5 e − 5 i p = 1 гдеr = 1 r = 1 r = 1 - модуль комплексного числа Подставляем r:e − 5 i p = 1 e^{- 5 i p} = 1 e − 5 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для p− i sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = 1 - i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1 − i sin ( 5 p ) + cos ( 5 p ) = 1 значитcos ( 5 p ) = 1 \cos{\left(5 p \right)} = 1 cos ( 5 p ) = 1 и− sin ( 5 p ) = 0 - \sin{\left(5 p \right)} = 0 − sin ( 5 p ) = 0 тогдаp = − 2 π N 5 p = - \frac{2 \pi N}{5} p = − 5 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = 1 z_{1} = 1 z 1 = 1 z 2 = − 1 4 + 5 4 − i 5 8 + 5 8 z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} z 2 = − 4 1 + 4 5 − i 8 5 + 8 5 z 3 = − 1 4 + 5 4 + i 5 8 + 5 8 z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} z 3 = − 4 1 + 4 5 + i 8 5 + 8 5 z 4 = − 5 4 − 1 4 − i 5 8 − 5 8 z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} z 4 = − 4 5 − 4 1 − i 8 5 − 8 5 z 5 = − 5 4 − 1 4 + i 5 8 − 5 8 z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} z 5 = − 4 5 − 4 1 + i 8 5 − 8 5 делаем обратную заменуz = y z = y z = y y = z y = z y = z Тогда, окончательный ответ:y0 = 0 y 1 = 1 y_{1} = 1 y 1 = 1 y 2 = − 1 4 + 5 4 − i 5 8 + 5 8 y_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} y 2 = − 4 1 + 4 5 − i 8 5 + 8 5 y 3 = − 1 4 + 5 4 + i 5 8 + 5 8 y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} y 3 = − 4 1 + 4 5 + i 8 5 + 8 5 y 4 = − 5 4 − 1 4 − i 5 8 − 5 8 y_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} y 4 = − 4 5 − 4 1 − i 8 5 − 8 5 y 5 = − 5 4 − 1 4 + i 5 8 − 5 8 y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} y 5 = − 4 5 − 4 1 + i 8 5 − 8 5
График
-15.0 -12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -2000000 2000000
___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
y3 = - - + ----- - I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 y 3 = − 1 4 + 5 4 − i 5 8 + 5 8 y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} y 3 = − 4 1 + 4 5 − i 8 5 + 8 5 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
y4 = - - + ----- + I* / - + -----
4 4 \/ 8 8 y 4 = − 1 4 + 5 4 + i 5 8 + 5 8 y_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} y 4 = − 4 1 + 4 5 + i 8 5 + 8 5 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
y5 = - - - ----- - I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 y 5 = − 5 4 − 1 4 − i 5 8 − 5 8 y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} y 5 = − 4 5 − 4 1 − i 8 5 − 8 5 ___________
___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5
y6 = - - - ----- + I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 y 6 = − 5 4 − 1 4 + i 5 8 − 5 8 y_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} y 6 = − 4 5 − 4 1 + i 8 5 − 8 5
Сумма и произведение корней
[src] ___________ ___________ ___________ ___________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
1 \/ 5 / 5 \/ 5 1 \/ 5 / 5 \/ 5 1 \/ 5 / 5 \/ 5 1 \/ 5 / 5 \/ 5
1 + - - + ----- - I* / - + ----- + - - + ----- + I* / - + ----- + - - - ----- - I* / - - ----- + - - - ----- + I* / - - -----
4 4 \/ 8 8 4 4 \/ 8 8 4 4 \/ 8 8 4 4 \/ 8 8 ( ( − 5 4 − 1 4 − i 5 8 − 5 8 ) + ( ( 1 + ( − 1 4 + 5 4 − i 5 8 + 5 8 ) ) + ( − 1 4 + 5 4 + i 5 8 + 5 8 ) ) ) + ( − 5 4 − 1 4 + i 5 8 − 5 8 ) \left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(1 + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) − 4 5 − 4 1 − i 8 5 − 8 5 + 1 + − 4 1 + 4 5 − i 8 5 + 8 5 + − 4 1 + 4 5 + i 8 5 + 8 5 + − 4 5 − 4 1 + i 8 5 − 8 5 / ___________\ / ___________\ / ___________\ / ___________\
| ___ / ___ | | ___ / ___ | | ___ / ___ | | ___ / ___ |
| 1 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 1 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 1 \/ 5 / 5 \/ 5 | | 1 \/ 5 / 5 \/ 5 |
0*|- - + ----- - I* / - + ----- |*|- - + ----- + I* / - + ----- |*|- - - ----- - I* / - - ----- |*|- - - ----- + I* / - - ----- |
\ 4 4 \/ 8 8 / \ 4 4 \/ 8 8 / \ 4 4 \/ 8 8 / \ 4 4 \/ 8 8 / 0 ( − 1 4 + 5 4 − i 5 8 + 5 8 ) ( − 1 4 + 5 4 + i 5 8 + 5 8 ) ( − 5 4 − 1 4 − i 5 8 − 5 8 ) ( − 5 4 − 1 4 + i 5 8 − 5 8 ) 0 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) 0 − 4 1 + 4 5 − i 8 5 + 8 5 − 4 1 + 4 5 + i 8 5 + 8 5 − 4 5 − 4 1 − i 8 5 − 8 5 − 4 5 − 4 1 + i 8 5 − 8 5 y2 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i y3 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i y4 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i y6 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i