y^6-y=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: y^6-y=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     6        
    y  - y = 0
    y6y=0y^{6} - y = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение
    y6y=0y^{6} - y = 0
    Очевидно:
    y0 = 0

    далее,
    преобразуем
    1y5=1\frac{1}{y^{5}} = 1
    Т.к. степень в ур-нии равна = -5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень -5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    11y55=115\frac{1}{\sqrt[5]{\frac{1}{y^{5}}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1}}
    или
    y=1y = 1
    Получим ответ: y = 1

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=yz = y
    тогда ур-ние будет таким:
    1z5=1\frac{1}{z^{5}} = 1
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    e5ipr5=1\frac{e^{- 5 i p}}{r^{5}} = 1
    где
    r=1r = 1
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=1e^{- 5 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(5p)+cos(5p)=1- i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1
    значит
    cos(5p)=1\cos{\left(5 p \right)} = 1
    и
    sin(5p)=0- \sin{\left(5 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN5p = - \frac{2 \pi N}{5}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=1z_{1} = 1
    z2=14+54i58+58z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    z3=14+54+i58+58z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    z4=5414i5858z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    z5=5414+i5858z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    делаем обратную замену
    z=yz = y
    y=zy = z

    Тогда, окончательный ответ:
    y0 = 0

    y1=1y_{1} = 1
    y2=14+54i58+58y_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    y3=14+54+i58+58y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    y4=5414i5858y_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    y5=5414+i5858y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    График
    -15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-20000002000000
    Быстрый ответ [src]
    y1 = 0
    y1=0y_{1} = 0
    y2 = 1
    y2=1y_{2} = 1
                              ___________
                 ___         /       ___ 
           1   \/ 5         /  5   \/ 5  
    y3 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
           4     4       \/    8     8   
    y3=14+54i58+58y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
                              ___________
                 ___         /       ___ 
           1   \/ 5         /  5   \/ 5  
    y4 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
           4     4       \/    8     8   
    y4=14+54+i58+58y_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
                              ___________
                 ___         /       ___ 
           1   \/ 5         /  5   \/ 5  
    y5 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
           4     4       \/    8     8   
    y5=5414i5858y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
                              ___________
                 ___         /       ___ 
           1   \/ 5         /  5   \/ 5  
    y6 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
           4     4       \/    8     8   
    y6=5414+i5858y_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                             ___________                        ___________                        ___________                        ___________
                ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___ 
          1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
    1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - ----- 
          4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8   
    ((5414i5858)+((1+(14+54i58+58))+(14+54+i58+58)))+(5414+i5858)\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(1 + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\
      |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ |
      |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
    0*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |
      \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   /
    0(14+54i58+58)(14+54+i58+58)(5414i5858)(5414+i5858)0 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)
    =
    0
    00
    Численный ответ [src]
    y1 = 0.0
    y2 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i
    y3 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i
    y4 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i
    y5 = 1.0
    y6 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i
    График
    y^6-y=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/4/8c/18efb3996568dbbc481d73b2ae67a.png