y^6-y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^6-y=0

Вы ввели

 6        
y  - y = 0

$$y^{6} - y = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{6} - y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{5}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[5]{\frac{1}{y^{5}}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{1}}$$
или
$$y = 1$$
Получим ответ: y = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{5}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 5 i p}}{r^{5}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$y_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

y1 = 0

$$y_{1} = 0$$

y2 = 1

$$y_{2} = 1$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y3 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y4 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{4} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y5 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
y6 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$y_{6} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                         ___________                        ___________                        ___________                        ___________
            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___ 
      1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - ----- 
      4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(1 + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\
  |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ |
  |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
0*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |
  \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   /

$$0 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

y1 = 0.0

y2 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

y3 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

y4 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

y5 = 1.0

y6 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

График