y^3-2y^2+y-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^3-2y^2+y-2=0

Вы ввели

 3      2            
y  - 2*y  + y - 2 = 0

$$y^{3} - 2 y^{2} + y - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y^{3} - 2 y^{2} + y - 2 = 0$$
преобразуем
$$\left(1 y + \left(\left(- 2 y^{2} + \left(1 y^{3} - 8\right)\right) + 8\right)\right) - 2 = 0$$
или
$$\left(1 y - \left(- y^{3} + 2 y^{2} - 8 + 8\right)\right) - 2 = 0$$
$$1 \left(y - 2\right) - \left(2 \left(y^{2} - 2^{2}\right) - \left(y^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$1 \left(y - 2\right) + \left(- 2 \left(y - 2\right) \left(y + 2\right) + 1 \left(y - 2\right) \left(\left(y^{2} + 2 y\right) + 2^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + y за скобки
получим:
$$\left(y - 2\right) \left(\left(- 2 \left(y + 2\right) + 1 \left(\left(y^{2} + 2 y\right) + 2^{2}\right)\right) + 1\right) = 0$$
или
$$\left(y - 2\right) \left(y^{2} + 1\right) = 0$$
тогда:
$$y_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$y^{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

y2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{2} = i$$
Упростить
$$y_{3} = - i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (y^3 - 2*y^2 + y - 1*2) + 0 = 0:
$$y_{1} = 2$$
$$y_{2} = i$$
$$y_{3} = - i$$

Быстрый ответ

y1 = 2

$$y_{1} = 2$$

y2 = -I

$$y_{2} = - i$$

y3 = I

$$y_{3} = i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 2 - I + I

$$\left(\left(0 + 2\right) - i\right) + i$$

=

2

$$2$$

произведение

1*2*-I*I

$$i 1 \cdot 2 \left(- i\right)$$

=

2

$$2$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p y^{2} + q y + v + y^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -2$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -2$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} + y_{3} = - p$$
$$y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3} = q$$
$$y_{1} y_{2} y_{3} = v$$
$$y_{1} + y_{2} + y_{3} = 2$$
$$y_{1} y_{2} + y_{1} y_{3} + y_{2} y_{3} = 1$$
$$y_{1} y_{2} y_{3} = -2$$

Численный ответ

y1 = 2.0

y2 = 1.0*i

y3 = -1.0*i

График