8/x=x^3 (уравнение)

Найду корень уравнения: 8/x=x^3

Вы ввели

8    3
- = x 
x     

$$\frac{8}{x} = x^{3}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{8}{x} = x^{3}$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{4}} = \frac{1}{8}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -4 - содержит чётное число -4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = -1 \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{8}}}$$
или
$$x = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x = - 2^{\frac{3}{4}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^3/4

Получим ответ: x = 2^(3/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^3/4

Получим ответ: x = -2^(3/4)
или
$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{4}} = \frac{1}{8}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{4}} e^{- 4 i p} = \frac{1}{8}$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$x_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$x_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$

Быстрый ответ

       3/4
x1 = -2   

$$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$

      3/4
x2 = 2   

$$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

         3/4
x3 = -I*2   

$$x_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$

        3/4
x4 = I*2   

$$x_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$

Численный ответ

x1 = -1.68179283050743

x2 = 1.68179283050743

x3 = -1.68179283050743*i

x4 = 1.68179283050743*i

График