w^3-27=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: w^3-27=0

Вы ввели

 3         
w  - 27 = 0

$$w^{3} - 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$w^{3} - 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
или
$$w = 3$$
Получим ответ: w = 3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

w1 = 3

$$w_{1} = 3$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
w2 = - - - ---------
       2       2    

$$w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
w3 = - - + ---------
       2       2    

$$w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

w1 = 3.0

w2 = -1.5 - 2.59807621135332*i

w3 = -1.5 + 2.59807621135332*i

График