х³+5х²=4х+20 (уравнение)

Найду корень уравнения: х³+5х²=4х+20

Вы ввели

 3      2           
x  + 5*x  = 4*x + 20

$$x^{3} + 5 x^{2} = 4 x + 20$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 5 x^{2} = 4 x + 20$$
преобразуем
$$\left(- 4 x - \left(- x^{3} - 5 x^{2} + 28\right)\right) + 8 = 0$$
или
$$\left(- 4 x - \left(- x^{3} - 5 x^{2} + 8 + 20\right)\right) + 2 \cdot 4 = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(5 \left(x^{2} - 2^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(1 \left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) + 5 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(5 \left(x + 2\right) + 1 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 4\right) = 0$$
или
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 7 x + 10\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 7 x + 10 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 7$$
$$c = 10$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(7)^2 - 4 * (1) * (10) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -2$$
Упростить
$$x_{3} = -5$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 5*x^2) - (4*x - 20) = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -5$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

x2 = -2

$$x_{2} = -2$$

x3 = 2

$$x_{3} = 2$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 5 - 2 + 2

$$\left(\left(-5 + 0\right) - 2\right) + 2$$

=

-5

$$-5$$

произведение

1*-5*-2*2

$$1 \left(-5\right) \left(-2\right) 2$$

=

20

$$20$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -4$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -20$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -5$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -4$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -20$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -5.0

x3 = -2.0

График