x⁴-2x²-8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴-2x²-8=0

Вы ввели

 4      2        
x  - 2*x  - 8 = 0

$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) - 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 2 v - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 4$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{4^{\frac{1}{2}}}{1} = 2$$
$$x_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) 4^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = -2$$
$$x_{3} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

          ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$

         ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___       ___
-2 + 2 - I*\/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(-2 + 2\right) - \sqrt{2} i\right) + \sqrt{2} i$$

=

0

$$0$$

произведение

     /     ___\     ___
-2*2*\-I*\/ 2 /*I*\/ 2 

$$\sqrt{2} i - 4 \left(- \sqrt{2} i\right)$$

=

-8

$$-8$$

Численный ответ

x1 = -2.0

x2 = 1.4142135623731*i

x3 = 2.0

x4 = -1.4142135623731*i

График