x⁴-7x²-18=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴-7x²-18=0

Вы ввели

 4      2         
x  - 7*x  - 18 = 0

$$x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 7 x^{2} - 18 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 7 v - 18 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = -18$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (-18) = 121

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 9$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 9^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = -3$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-2\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = -3

$$x_{1} = -3$$

x2 = 3

$$x_{2} = 3$$

          ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt{2} i$$

         ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                ___       ___
0 - 3 + 3 - I*\/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(\left(-3 + 0\right) + 3\right) - \sqrt{2} i\right) + \sqrt{2} i$$

=

0

$$0$$

произведение

            ___     ___
1*-3*3*-I*\/ 2 *I*\/ 2 

$$\sqrt{2} i 1 \left(-3\right) 3 \left(- \sqrt{2} i\right)$$

=

-18

$$-18$$

Численный ответ

x1 = -1.4142135623731*i

x2 = -3.0

x3 = 3.0

x4 = 1.4142135623731*i