x⁴+2x²-8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴+2x²-8=0

Вы ввели

 4      2        
x  + 2*x  - 8 = 0

$$x^{4} + 2 x^{2} - 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} + 2 x^{2} - 8 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + 2 v - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 2$$
Упростить
$$v_{2} = -4$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 2^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 2 i$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - 2 i$$

Быстрый ответ

        ___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt{2}$$

       ___
x2 = \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt{2}$$

x3 = -2*I

$$x_{3} = - 2 i$$

x4 = 2*I

$$x_{4} = 2 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      ___     ___            
0 - \/ 2  + \/ 2  - 2*I + 2*I

$$\left(\left(\left(- \sqrt{2} + 0\right) + \sqrt{2}\right) - 2 i\right) + 2 i$$

=

0

$$0$$

произведение

     ___   ___         
1*-\/ 2 *\/ 2 *-2*I*2*I

$$2 i - 2 i \sqrt{2} \cdot 1 \left(- \sqrt{2}\right)$$

=

-8

$$-8$$

Численный ответ

x1 = -2.0*i

x2 = -1.4142135623731

x3 = 1.4142135623731

x4 = 2.0*i

График