x⁴=(4x-21)² (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴=(4x-21)²

Вы ввели

 4             2
x  = (4*x - 21) 

$$x^{4} = \left(4 x - 21\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} = \left(4 x - 21\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 3\right) \left(x + 7\right) \left(x^{2} - 4 x + 21\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 3 = 0$$
$$x + 7 = 0$$
$$x^{2} - 4 x + 21 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3$$
Получим ответ: x1 = 3
2.
$$x + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -7$$
Получим ответ: x2 = -7
3.
$$x^{2} - 4 x + 21 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 21$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (21) = -68

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = 2 + \sqrt{17} i$$
Упростить
$$x_{4} = 2 - \sqrt{17} i$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{17} i$$
$$x_{4} = 2 - \sqrt{17} i$$

Быстрый ответ

x1 = -7

$$x_{1} = -7$$

x2 = 3

$$x_{2} = 3$$

             ____
x3 = 2 - I*\/ 17 

$$x_{3} = 2 - \sqrt{17} i$$

             ____
x4 = 2 + I*\/ 17 

$$x_{4} = 2 + \sqrt{17} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ____           ____
0 - 7 + 3 + 2 - I*\/ 17  + 2 + I*\/ 17 

$$\left(\left(\left(-7 + 0\right) + 3\right) + \left(2 - \sqrt{17} i\right)\right) + \left(2 + \sqrt{17} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ____\ /        ____\
1*-7*3*\2 - I*\/ 17 /*\2 + I*\/ 17 /

$$1 \left(-7\right) 3 \cdot \left(2 - \sqrt{17} i\right) \left(2 + \sqrt{17} i\right)$$

=

-441

$$-441$$

Численный ответ

x1 = 2.0 - 4.12310562561766*i

x2 = 2.0 + 4.12310562561766*i

x3 = 3.0

x4 = -7.0

График