x⁴=(x-20)² (уравнение)

Найду корень уравнения: x⁴=(x-20)²

Вы ввели

 4           2
x  = (x - 20) 

$$x^{4} = \left(x - 20\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} = \left(x - 20\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 4\right) \left(x + 5\right) \left(x^{2} - x + 20\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 4 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$x^{2} - x + 20 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x1 = 4
2.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x2 = -5
3.
$$x^{2} - x + 20 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 20$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (20) = -79

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{79} i}{2}$$
Упростить
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{79} i}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{79} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{79} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

x2 = 4

$$x_{2} = 4$$

             ____
     1   I*\/ 79 
x3 = - - --------
     2      2    

$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{79} i}{2}$$

             ____
     1   I*\/ 79 
x4 = - + --------
     2      2    

$$x_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{79} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ____           ____
            1   I*\/ 79    1   I*\/ 79 
0 - 5 + 4 + - - -------- + - + --------
            2      2       2      2    

$$\left(\left(\left(-5 + 0\right) + 4\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{79} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{79} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ____\ /        ____\
       |1   I*\/ 79 | |1   I*\/ 79 |
1*-5*4*|- - --------|*|- + --------|
       \2      2    / \2      2    /

$$1 \left(-5\right) 4 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{79} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{79} i}{2}\right)$$

=

-400

$$-400$$

Численный ответ

x1 = 4.0

x2 = -5.0

x3 = 0.5 - 4.44409720865779*i

x4 = 0.5 + 4.44409720865779*i

График