(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Вы ввели

       2          2    2
(x - a)  + (y - b)  = r 

$$\left(- a + x\right)^{2} + \left(- b + y\right)^{2} = r^{2}$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(- a + x\right)^{2} + \left(- b + y\right)^{2} = r^{2}$$
в
$$- r^{2} + \left(\left(- a + x\right)^{2} + \left(- b + y\right)^{2}\right) = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$- r^{2} + \left(\left(- a + x\right)^{2} + \left(- b + y\right)^{2}\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$a^{2} - 2 a x + b^{2} - 2 b y - r^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - 2 a$$
$$c = a^{2} + b^{2} - 2 b y - r^{2} + y^{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2*a)^2 - 4 * (1) * (a^2 + b^2 + y^2 - r^2 - 2*b*y) = -4*b^2 - 4*y^2 + 4*r^2 + 8*b*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = a + \frac{\sqrt{- 4 b^{2} + 8 b y + 4 r^{2} - 4 y^{2}}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = a - \frac{\sqrt{- 4 b^{2} + 8 b y + 4 r^{2} - 4 y^{2}}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           _________________________
x1 = a - \/ (b + r - y)*(r + y - b) 

$$x_{1} = a - \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}$$

           _________________________
x2 = a + \/ (b + r - y)*(r + y - b) 

$$x_{2} = a + \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          _________________________         _________________________
0 + a - \/ (b + r - y)*(r + y - b)  + a + \/ (b + r - y)*(r + y - b) 

$$\left(a + \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}\right) + \left(\left(a - \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}\right) + 0\right)$$

=

2*a

$$2 a$$

произведение

  /      _________________________\ /      _________________________\
1*\a - \/ (b + r - y)*(r + y - b) /*\a + \/ (b + r - y)*(r + y - b) /

$$1 \left(a - \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}\right) \left(a + \sqrt{\left(- b + r + y\right) \left(b + r - y\right)}\right)$$

=

 2    2    2    2        
a  + b  + y  - r  - 2*b*y

$$a^{2} + b^{2} - 2 b y - r^{2} + y^{2}$$