(x-10)^7=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-10)^7=1

Вы ввели

        7    
(x - 10)  = 1

$$\left(x - 10\right)^{7} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 10\right)^{7} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x - 10\right)^{7}} = \sqrt[7]{1}$$
или
$$x - 10 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 11$$
Получим ответ: x = 11

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 10$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 10$$
$$x = z + 10$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 11

$$x_{1} = 11$$

x2 = 9.09903113209758 - 0.433883739117558*I

$$x_{2} = 9.09903113209758 - 0.433883739117558 i$$

x3 = 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I

$$x_{3} = 9.09903113209758 + 0.433883739117558 i$$

x4 = 9.77747906604369 - 0.974927912181824*I

$$x_{4} = 9.77747906604369 - 0.974927912181824 i$$

x5 = 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I

$$x_{5} = 9.77747906604369 + 0.974927912181824 i$$

x6 = 10.6234898018587 - 0.78183148246803*I

$$x_{6} = 10.6234898018587 - 0.78183148246803 i$$

x7 = 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I

$$x_{7} = 10.6234898018587 + 0.78183148246803 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + 11 + 9.09903113209758 - 0.433883739117558*I + 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I + 9.77747906604369 - 0.974927912181824*I + 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I + 10.6234898018587 - 0.78183148246803*I + 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I

$$\left(\left(10.6234898018587 - 0.78183148246803 i\right) + \left(\left(\left(9.77747906604369 - 0.974927912181824 i\right) + \left(\left(\left(0 + 11\right) + \left(9.09903113209758 - 0.433883739117558 i\right)\right) + \left(9.09903113209758 + 0.433883739117558 i\right)\right)\right) + \left(9.77747906604369 + 0.974927912181824 i\right)\right)\right) + \left(10.6234898018587 + 0.78183148246803 i\right)$$

=

70.0000000000000

$$70.0$$

произведение

1*11*(9.09903113209758 - 0.433883739117558*I)*(9.09903113209758 + 0.433883739117558*I)*(9.77747906604369 - 0.974927912181824*I)*(9.77747906604369 + 0.974927912181824*I)*(10.6234898018587 - 0.78183148246803*I)*(10.6234898018587 + 0.78183148246803*I)

$$1 \cdot 11 \cdot \left(9.09903113209758 - 0.433883739117558 i\right) \left(9.09903113209758 + 0.433883739117558 i\right) \left(9.77747906604369 - 0.974927912181824 i\right) \left(9.77747906604369 + 0.974927912181824 i\right) \left(10.6234898018587 - 0.78183148246803 i\right) \left(10.6234898018587 + 0.78183148246803 i\right)$$

=

10000001.0 - 5.82076609134674e-11*I

$$10000001.0 - 5.82076609134674 \cdot 10^{-11} i$$

Численный ответ

x1 = 9.77747906604369 + 0.974927912181824*i

x2 = 9.09903113209758 - 0.433883739117558*i

x3 = 9.09903113209758 + 0.433883739117558*i

x4 = 9.77747906604369 - 0.974927912181824*i

x5 = 10.6234898018587 - 0.78183148246803*i

x6 = 11.0

x7 = 10.6234898018587 + 0.78183148246803*i