(x-2)^5=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-2)^5=1

Вы ввели

       5    
(x - 2)  = 1

$$\left(x - 2\right)^{5} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 2\right)^{5} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(x - 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{1}$$
или
$$x - 2 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 3$$
Получим ответ: x = 3

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 2$$
$$x = z + 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 3

$$x_{1} = 3$$

              _____________        
             /         ___      ___
     7      /    5   \/ 5     \/ 5 
x2 = - -   /   - - + -----  - -----
     4   \/      8     8        4  

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} - \sqrt{- \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     7   \/ 5         /  5   \/ 5  
x3 = - - ----- + I*  /   - - ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

              _____________        
             /         ___      ___
     7      /    5   \/ 5     \/ 5 
x4 = - -   /   - - - -----  + -----
     4   \/      8     8        4  

$$x_{4} = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} - \sqrt{- \frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                        ___________
           ___         /       ___ 
     7   \/ 5         /  5   \/ 5  
x5 = - + ----- + I*  /   - + ----- 
     4     4       \/    8     8   

$$x_{5} = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{7}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Численный ответ

x1 = 2.30901699437 - 0.951056516295*i

x2 = 2.30901699437 + 0.951056516295*i

x3 = 1.19098300563 - 0.587785252292*i

x4 = 1.19098300563 + 0.587785252292*i

x5 = 3.00000000000000

График