(x-2)^3=-216 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x-2)^3=-216

    Решение

    Вы ввели [src]
           3       
    (x - 2)  = -216
    (x2)3=216\left(x - 2\right)^{3} = -216
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (x2)3=216\left(x - 2\right)^{3} = -216
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    (1x2)33=2163\sqrt[3]{\left(1 x - 2\right)^{3}} = \sqrt[3]{-216}
    или
    x2=613x - 2 = 6 \sqrt[3]{-1}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    -2 + x = -6*1^1/3

    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    x=2+613x = 2 + 6 \sqrt[3]{-1}
    Получим ответ: x = 2 + 6*(-1)^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=x2z = x - 2
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=216z^{3} = -216
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=216r^{3} e^{3 i p} = -216
    где
    r=6r = 6
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = -1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=6z_{1} = -6
    z2=333iz_{2} = 3 - 3 \sqrt{3} i
    z3=3+33iz_{3} = 3 + 3 \sqrt{3} i
    делаем обратную замену
    z=x2z = x - 2
    x=z+2x = z + 2

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=4x_{1} = -4
    x2=533ix_{2} = 5 - 3 \sqrt{3} i
    x3=5+33ix_{3} = 5 + 3 \sqrt{3} i
    График
    -20.0-17.5-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.5-50005000
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -4
    x1=4x_{1} = -4
                   ___
    x2 = 5 - 3*I*\/ 3 
    x2=533ix_{2} = 5 - 3 \sqrt{3} i
                   ___
    x3 = 5 + 3*I*\/ 3 
    x3=5+33ix_{3} = 5 + 3 \sqrt{3} i
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                      ___             ___
    0 - 4 + 5 - 3*I*\/ 3  + 5 + 3*I*\/ 3 
    ((4+0)+(533i))+(5+33i)\left(\left(-4 + 0\right) + \left(5 - 3 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(5 + 3 \sqrt{3} i\right)
    =
    6
    66
    произведение
         /          ___\ /          ___\
    1*-4*\5 - 3*I*\/ 3 /*\5 + 3*I*\/ 3 /
    1(4)(533i)(5+33i)1 \left(-4\right) \left(5 - 3 \sqrt{3} i\right) \left(5 + 3 \sqrt{3} i\right)
    =
    -208
    208-208
    Численный ответ [src]
    x1 = 5.0 + 5.19615242270663*i
    x2 = -4.0
    x3 = 5.0 - 5.19615242270663*i
    График
    (x-2)^3=-216 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/6/63/b019e68b19e3e36e819d54d541b9a.png