(х-2)^3=-216 (уравнение)

Найду корень уравнения: (х-2)^3=-216

Вы ввели

       3       
(x - 2)  = -216

$$\left(x - 2\right)^{3} = -216$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 2\right)^{3} = -216$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 2\right)^{3}} = \sqrt[3]{-216}$$
или
$$x - 2 = 6 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-2 + x = -6*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2 + 6 \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 2 + 6*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -216$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -216$$
где
$$r = 6$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -6$$
$$z_{2} = 3 - 3 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 3 + 3 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 2$$
$$x = z + 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 5 - 3 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 5 + 3 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

               ___
x2 = 5 - 3*I*\/ 3 

$$x_{2} = 5 - 3 \sqrt{3} i$$

               ___
x3 = 5 + 3*I*\/ 3 

$$x_{3} = 5 + 3 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
0 - 4 + 5 - 3*I*\/ 3  + 5 + 3*I*\/ 3 

$$\left(\left(-4 + 0\right) + \left(5 - 3 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(5 + 3 \sqrt{3} i\right)$$

=

6

$$6$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
1*-4*\5 - 3*I*\/ 3 /*\5 + 3*I*\/ 3 /

$$1 \left(-4\right) \left(5 - 3 \sqrt{3} i\right) \left(5 + 3 \sqrt{3} i\right)$$

=

-208

$$-208$$

Численный ответ

x1 = 5.0 - 5.19615242270663*i

x2 = -4.0

x3 = 5.0 + 5.19615242270663*i

График