(x-2)^3=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-2)^3=8

Вы ввели

       3    
(x - 2)  = 8

$$\left(x - 2\right)^{3} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 2\right)^{3} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right)^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
или
$$x - 2 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x = 4

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 2$$
$$x = z + 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 4

$$x_{1} = 4$$

             ___
x2 = 1 - I*\/ 3 

$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$

             ___
x3 = 1 + I*\/ 3 

$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___           ___
4 + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 

$$\left(4 + \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

6

$$6$$

произведение

  /        ___\ /        ___\
4*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /

$$4 \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

16

$$16$$

Численный ответ

x1 = 1.0 - 1.73205080756888*i

x2 = 4.0

x3 = 1.0 + 1.73205080756888*i

График