(x-12)^4=16 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-12)^4=16

Вы ввели

        4     
(x - 12)  = 16

$$\left(x - 12\right)^{4} = 16$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 12\right)^{4} = 16$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(x - 12\right)^{4}} = \sqrt[4]{16}$$
$$\sqrt[4]{\left(x - 12\right)^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{16}$$
или
$$x - 12 = 2$$
$$x - 12 = -2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 14$$
Получим ответ: x = 14
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 10$$
Получим ответ: x = 10
или
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 14$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 12$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = - 2 i$$
$$z_{4} = 2 i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 12$$
$$x = z + 12$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 14$$
$$x_{3} = 12 - 2 i$$
$$x_{4} = 12 + 2 i$$

Быстрый ответ

x1 = 10

$$x_{1} = 10$$

x2 = 14

$$x_{2} = 14$$

x3 = 12 - 2*I

$$x_{3} = 12 - 2 i$$

x4 = 12 + 2*I

$$x_{4} = 12 + 2 i$$

Численный ответ

x1 = 12.0 + 2.0*i

x2 = 14.0

x3 = 10.0

x4 = 12.0 - 2.0*i

График