(x-1)^3=-27 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-1)^3=-27

Вы ввели

       3      
(x - 1)  = -27

$$\left(x - 1\right)^{3} = -27$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 1\right)^{3} = -27$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 1\right)^{3}} = \sqrt[3]{-27}$$
или
$$x - 1 = 3 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-1 + x = -3*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1 + 3 \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 1 + 3*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 1$$
$$x = z + 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

               ___
     5   3*I*\/ 3 
x2 = - - ---------
     2       2    

$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

               ___
     5   3*I*\/ 3 
x3 = - + ---------
     2       2    

$$x_{3} = \frac{5}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
        5   3*I*\/ 3    5   3*I*\/ 3 
0 - 2 + - - --------- + - + ---------
        2       2       2       2    

$$\left(\left(-2 + 0\right) + \left(\frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{5}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

3

$$3$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
     |5   3*I*\/ 3 | |5   3*I*\/ 3 |
1*-2*|- - ---------|*|- + ---------|
     \2       2    / \2       2    /

$$1 \left(-2\right) \left(\frac{5}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{5}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-26

$$-26$$

Численный ответ

x1 = 2.5 + 2.59807621135332*i

x2 = -2.0

x3 = 2.5 - 2.59807621135332*i

График