(x-7)^3=216 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-7)^3=216

Вы ввели

       3      
(x - 7)  = 216

$$\left(x - 7\right)^{3} = 216$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 7\right)^{3} = 216$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 7\right)^{3}} = \sqrt[3]{216}$$
или
$$x - 7 = 6$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 13$$
Получим ответ: x = 13

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 7$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 216$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 216$$
где
$$r = 6$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 6$$
$$z_{2} = -3 - 3 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -3 + 3 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x - 7$$
$$x = z + 7$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = 4 - 3 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 4 + 3 \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 13

$$x_{1} = 13$$

               ___
x2 = 4 - 3*I*\/ 3 

$$x_{2} = 4 - 3 \sqrt{3} i$$

               ___
x3 = 4 + 3*I*\/ 3 

$$x_{3} = 4 + 3 \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                   ___             ___
0 + 13 + 4 - 3*I*\/ 3  + 4 + 3*I*\/ 3 

$$\left(\left(0 + 13\right) + \left(4 - 3 \sqrt{3} i\right)\right) + \left(4 + 3 \sqrt{3} i\right)$$

=

21

$$21$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
1*13*\4 - 3*I*\/ 3 /*\4 + 3*I*\/ 3 /

$$1 \cdot 13 \cdot \left(4 - 3 \sqrt{3} i\right) \left(4 + 3 \sqrt{3} i\right)$$

=

559

$$559$$

Численный ответ

x1 = 4.0 - 5.19615242270663*i

x2 = 13.0

x3 = 4.0 + 5.19615242270663*i

График