(x-7)^3=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-7)^3=-1

Вы ввели

       3     
(x - 7)  = -1

$$\left(x - 7\right)^{3} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 7\right)^{3} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(x - 7\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1}$$
или
$$x - 7 = \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-7 + x = -1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7 + \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 7 + (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 7$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 7$$
$$x = z + 7$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = \frac{15}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{15}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 6

$$x_{1} = 6$$

              ___
     15   I*\/ 3 
x2 = -- - -------
     2       2   

$$x_{2} = \frac{15}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

              ___
     15   I*\/ 3 
x3 = -- + -------
     2       2   

$$x_{3} = \frac{15}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___            ___
    15   I*\/ 3    15   I*\/ 3 
6 + -- - ------- + -- + -------
    2       2      2       2   

$$\left(6 + \left(\frac{15}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

21

$$21$$

произведение

  /         ___\ /         ___\
  |15   I*\/ 3 | |15   I*\/ 3 |
6*|-- - -------|*|-- + -------|
  \2       2   / \2       2   /

$$6 \left(\frac{15}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

342

$$342$$

Численный ответ

x1 = 7.5 + 0.866025403784439*i

x2 = 6.0

x3 = 7.5 - 0.866025403784439*i

График