(x-3)^3=125 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-3)^3=125

Вы ввели

       3      
(x - 3)  = 125

$$\left(x - 3\right)^{3} = 125$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x - 3\right)^{3} = 125$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x - 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{125}$$
или
$$x - 3 = 5$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 8$$
Получим ответ: x = 8

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 3$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 5$$
$$z_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 3$$
$$x = z + 3$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 8

$$x_{1} = 8$$

               ___
     1   5*I*\/ 3 
x2 = - - ---------
     2       2    

$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

               ___
     1   5*I*\/ 3 
x3 = - + ---------
     2       2    

$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
        1   5*I*\/ 3    1   5*I*\/ 3 
0 + 8 + - - --------- + - + ---------
        2       2       2       2    

$$\left(\left(0 + 8\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

9

$$9$$

произведение

    /          ___\ /          ___\
    |1   5*I*\/ 3 | |1   5*I*\/ 3 |
1*8*|- - ---------|*|- + ---------|
    \2       2    / \2       2    /

$$1 \cdot 8 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

152

$$152$$

Численный ответ

x1 = 8.0

x2 = 0.5 + 4.33012701892219*i

x3 = 0.5 - 4.33012701892219*i

График