(x+2)^5=-32 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+2)^5=-32

Вы ввели

       5      
(x + 2)  = -32

$$\left(x + 2\right)^{5} = -32$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 2\right)^{5} = -32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(x + 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
или
$$x + 2 = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

2 + x = -2*1^1/5

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -2 + 2 \sqrt[5]{-1}$$
Получим ответ: x = -2 + 2*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{3}{2} - 2 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + \frac{\sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       3   \/ 5           /  5   \/ 5  
x2 = - - - ----- - 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       3   \/ 5           /  5   \/ 5  
x3 = - - - ----- + 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       3   \/ 5           /  5   \/ 5  
x4 = - - + ----- - 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       3   \/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - - + ----- + 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Численный ответ

x1 = -0.381966011250105 + 1.17557050458495*i

x2 = -0.381966011250105 - 1.17557050458495*i

x3 = -2.61803398874989 - 1.90211303259031*i

x4 = -2.61803398874989 + 1.90211303259031*i

x5 = -4.0

График