Решите уравнение (x+7)^3=216 ((х плюс 7) в кубе равно 216) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ответ!]

(x+7)^3=216 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: (x+7)^3=216

    Решение

    Вы ввели [src]
           3      
    (x + 7)  = 216
    $$\left(x + 7\right)^{3} = 216$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$\left(x + 7\right)^{3} = 216$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{\left(1 x + 7\right)^{3}} = \sqrt[3]{216}$$
    или
    $$x + 7 = 6$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -1$$
    Получим ответ: x = -1

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x + 7$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 216$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 216$$
    где
    $$r = 6$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 6$$
    $$z_{2} = -3 - 3 \sqrt{3} i$$
    $$z_{3} = -3 + 3 \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x + 7$$
    $$x = z - 7$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = -10 - 3 \sqrt{3} i$$
    $$x_{3} = -10 + 3 \sqrt{3} i$$
    График
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                        ___               ___
    0 - 1 + -10 - 3*I*\/ 3  + -10 + 3*I*\/ 3 
    $$\left(\left(-1 + 0\right) - \left(10 + 3 \sqrt{3} i\right)\right) - \left(10 - 3 \sqrt{3} i\right)$$
    =
    -21
    $$-21$$
    произведение
         /            ___\ /            ___\
    1*-1*\-10 - 3*I*\/ 3 /*\-10 + 3*I*\/ 3 /
    $$1 \left(-1\right) \left(-10 - 3 \sqrt{3} i\right) \left(-10 + 3 \sqrt{3} i\right)$$
    =
    -127
    $$-127$$
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -1
    $$x_{1} = -1$$
                     ___
    x2 = -10 - 3*I*\/ 3 
    $$x_{2} = -10 - 3 \sqrt{3} i$$
                     ___
    x3 = -10 + 3*I*\/ 3 
    $$x_{3} = -10 + 3 \sqrt{3} i$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -10.0 - 5.19615242270663*i
    x2 = -10.0 + 5.19615242270663*i
    x3 = -1.0
    График
    (x+7)^3=216 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/d/a4/ff4d96c01a89d33244e5941232dfb.png