(x+3)^3=-8 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+3)^3=-8

Вы ввели

       3     
(x + 3)  = -8

$$\left(x + 3\right)^{3} = -8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 3\right)^{3} = -8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$x + 3 = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

3 + x = -2*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3 + 2 \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = -3 + 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 3$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x + 3$$
$$x = z - 3$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

              ___
x2 = -2 - I*\/ 3 

$$x_{2} = -2 - \sqrt{3} i$$

              ___
x3 = -2 + I*\/ 3 

$$x_{3} = -2 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                 ___            ___
0 - 5 + -2 - I*\/ 3  + -2 + I*\/ 3 

$$\left(\left(-5 + 0\right) - \left(2 + \sqrt{3} i\right)\right) - \left(2 - \sqrt{3} i\right)$$

=

-9

$$-9$$

произведение

     /         ___\ /         ___\
1*-5*\-2 - I*\/ 3 /*\-2 + I*\/ 3 /

$$1 \left(-5\right) \left(-2 - \sqrt{3} i\right) \left(-2 + \sqrt{3} i\right)$$

=

-35

$$-35$$

Численный ответ

x1 = -5.0

x2 = -2.0 + 1.73205080756888*i

x3 = -2.0 - 1.73205080756888*i

График