(x+3)^3=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+3)^3=1

Вы ввели

       3    
(x + 3)  = 1

$$\left(x + 3\right)^{3} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 3\right)^{3} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 3\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$x + 3 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -2$$
Получим ответ: x = -2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 3$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 3$$
$$x = z - 3$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -2

$$x_{1} = -2$$

               ___
       7   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       7   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___
          7   I*\/ 3      7   I*\/ 3 
0 - 2 + - - - ------- + - - + -------
          2      2        2      2   

$$\left(\left(-2 + 0\right) - \left(\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-9

$$-9$$

произведение

     /          ___\ /          ___\
     |  7   I*\/ 3 | |  7   I*\/ 3 |
1*-2*|- - - -------|*|- - + -------|
     \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \left(-2\right) \left(- \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-26

$$-26$$

Численный ответ

x1 = -3.5 - 0.866025403784439*i

x2 = -3.5 + 0.866025403784439*i

x3 = -2.0

График