x+√x=11 (уравнение)

Найду корень уравнения: x+√x=11

Вы ввели

      ___     
x + \/ x  = 11

$$\sqrt{x} + x = 11$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{x} + x = 11$$
$$\sqrt{x} = 11 - x$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x = \left(11 - x\right)^{2}$$
$$x = x^{2} - 22 x + 121$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 23 x - 121 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 23$$
$$c = -121$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(23)^2 - 4 * (-1) * (-121) = 45

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{23}{2}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{x} = 11 - x$$
и
$$\sqrt{x} \geq 0$$
то
$$11 - x \geq 0$$
или
$$x \leq 11$$
$$-\infty < x$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$

Быстрый ответ

              ___
     23   3*\/ 5 
x1 = -- - -------
     2       2   

$$x_{1} = \frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___
    23   3*\/ 5 
0 + -- - -------
    2       2   

$$0 + \left(\frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}\right)$$

=

         ___
23   3*\/ 5 
-- - -------
2       2   

$$\frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$

произведение

  /         ___\
  |23   3*\/ 5 |
1*|-- - -------|
  \2       2   /

$$1 \cdot \left(\frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}\right)$$

=

         ___
23   3*\/ 5 
-- - -------
2       2   

$$\frac{23}{2} - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$

Численный ответ

x1 = 8.14589803375032

График