x=x^5-x (уравнение)

Найду корень уравнения: x=x^5-x

Вы ввели

     5    
x = x  - x

$$x = x^{5} - x$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x = x^{5} - x$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{4}} = \frac{1}{2}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -4 - содержит чётное число -4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{2}}}$$
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{x^{4}}}} = -1 \frac{1}{\sqrt[4]{\frac{1}{2}}}$$
или
$$x = \sqrt[4]{2}$$
$$x = - \sqrt[4]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/4

Получим ответ: x = 2^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/4

Получим ответ: x = -2^(1/4)
или
$$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{4}} = \frac{1}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{4}} e^{- 4 i p} = \frac{1}{2}$$
где
$$r = \sqrt[4]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{2} i$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

      4 ___
x2 = -\/ 2 

$$x_{2} = - \sqrt[4]{2}$$

     4 ___
x3 = \/ 2 

$$x_{3} = \sqrt[4]{2}$$

        4 ___
x4 = -I*\/ 2 

$$x_{4} = - \sqrt[4]{2} i$$

       4 ___
x5 = I*\/ 2 

$$x_{5} = \sqrt[4]{2} i$$

Численный ответ

x1 = 0.0

x2 = 1.18920711500000

x3 = -1.18920711500000

x4 = 1.189207115*i

x5 = -1.189207115*i

График