xy+2y=x^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: xy+2y=x^2

Вы ввели

             2
x*y + 2*y = x 

$$x y + 2 y = x^{2}$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x y + 2 y = x^{2}$$
в
$$- x^{2} + \left(x y + 2 y\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = y$$
$$c = 2 y$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(y)^2 - 4 * (-1) * (2*y) = y^2 + 8*y

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{y^{2} + 8 y}}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{y^{2} + 8 y}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ___________
     y   \/ y*(8 + y) 
x1 = - - -------------
     2         2      

$$x_{1} = \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}$$

           ___________
     y   \/ y*(8 + y) 
x2 = - + -------------
     2         2      

$$x_{2} = \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___________         ___________
    y   \/ y*(8 + y)    y   \/ y*(8 + y) 
0 + - - ------------- + - + -------------
    2         2         2         2      

$$\left(\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}\right) + \left(\left(\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}\right) + 0\right)$$

=

y

$$y$$

произведение

  /      ___________\ /      ___________\
  |y   \/ y*(8 + y) | |y   \/ y*(8 + y) |
1*|- - -------------|*|- + -------------|
  \2         2      / \2         2      /

$$1 \left(\frac{y}{2} - \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}\right) \left(\frac{y}{2} + \frac{\sqrt{y \left(y + 8\right)}}{2}\right)$$

=

-2*y

$$- 2 y$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$x y + 2 y = x^{2}$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} - x y - 2 y = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - y$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - 2 y$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = y$$
$$x_{1} x_{2} = - 2 y$$