x^4-2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-2=0

Вы ввели

 4        
x  - 2 = 0

$$x^{4} - 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} - 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{2}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{2}$$
или
$$x = \sqrt[4]{2}$$
$$x = - \sqrt[4]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/4

Получим ответ: x = 2^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/4

Получим ответ: x = -2^(1/4)
или
$$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[4]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{2}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$
$$x_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{2} i$$

Быстрый ответ

      4 ___
x1 = -\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt[4]{2}$$

     4 ___
x2 = \/ 2 

$$x_{2} = \sqrt[4]{2}$$

        4 ___
x3 = -I*\/ 2 

$$x_{3} = - \sqrt[4]{2} i$$

       4 ___
x4 = I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt[4]{2} i$$

Численный ответ

x1 = 1.18920711500272

x2 = -1.18920711500272*i

x3 = 1.18920711500272*i

x4 = -1.18920711500272

График