x^4+9=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+9=0

Вы ввели

 4        
x  + 9 = 0

$$x^{4} + 9 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 9 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -9 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -9$$
где
$$r = \sqrt{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 6    I*\/ 6 
x1 = - ----- - -------
         2        2   

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 6    I*\/ 6 
x2 = - ----- + -------
         2        2   

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 6    I*\/ 6 
x3 = ----- - -------
       2        2   

$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 6    I*\/ 6 
x4 = ----- + -------
       2        2   

$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
      \/ 6    I*\/ 6      \/ 6    I*\/ 6    \/ 6    I*\/ 6    \/ 6    I*\/ 6 
0 + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
        2        2          2        2        2        2        2        2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) - \sqrt{6}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
  |  \/ 6    I*\/ 6 | |  \/ 6    I*\/ 6 | |\/ 6    I*\/ 6 | |\/ 6    I*\/ 6 |
1*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
  \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /

$$1 \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$

=

9

$$9$$

Численный ответ

x1 = -1.22474487139159 + 1.22474487139159*i

x2 = 1.22474487139159 + 1.22474487139159*i

x3 = 1.22474487139159 - 1.22474487139159*i

x4 = -1.22474487139159 - 1.22474487139159*i

График