x^4+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+2=0

Вы ввели

 4        
x  + 2 = 0

$$x^{4} + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[4]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

Быстрый ответ

        3/4      3/4
       2      I*2   
x1 = - ---- - ------
        2       2   

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

        3/4      3/4
       2      I*2   
x2 = - ---- + ------
        2       2   

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

      3/4      3/4
     2      I*2   
x3 = ---- - ------
      2       2   

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

      3/4      3/4
     2      I*2   
x4 = ---- + ------
      2       2   

$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       3/4      3/4      3/4      3/4    3/4      3/4    3/4      3/4
      2      I*2        2      I*2      2      I*2      2      I*2   
0 + - ---- - ------ + - ---- + ------ + ---- - ------ + ---- + ------
       2       2         2       2       2       2       2       2   

$$\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) - 2^{\frac{3}{4}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /   3/4      3/4\ /   3/4      3/4\ / 3/4      3/4\ / 3/4      3/4\
  |  2      I*2   | |  2      I*2   | |2      I*2   | |2      I*2   |
1*|- ---- - ------|*|- ---- + ------|*|---- - ------|*|---- + ------|
  \   2       2   / \   2       2   / \ 2       2   / \ 2       2   /

$$1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right)$$

=

2

$$2$$

Численный ответ

x1 = 0.840896415253715 + 0.840896415253715*i

x2 = 0.840896415253715 - 0.840896415253715*i

x3 = -0.840896415253715 + 0.840896415253715*i

x4 = -0.840896415253715 - 0.840896415253715*i

График