x^4+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+6=0

Вы ввели

 4        
x  + 6 = 0

$$x^{4} + 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 6 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -6 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -6$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -6$$
где
$$r = \sqrt[4]{6}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

        3/4 4 ___      3/4 4 ___
       2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 
x1 = - ---------- - ------------
           2             2      

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$

        3/4 4 ___      3/4 4 ___
       2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 
x2 = - ---------- + ------------
           2             2      

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$

      3/4 4 ___      3/4 4 ___
     2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 
x3 = ---------- - ------------
         2             2      

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$

      3/4 4 ___      3/4 4 ___
     2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 
x4 = ---------- + ------------
         2             2      

$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       3/4 4 ___      3/4 4 ___      3/4 4 ___      3/4 4 ___    3/4 4 ___      3/4 4 ___    3/4 4 ___      3/4 4 ___
      2   *\/ 3    I*2   *\/ 3      2   *\/ 3    I*2   *\/ 3    2   *\/ 3    I*2   *\/ 3    2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 
0 + - ---------- - ------------ + - ---------- + ------------ + ---------- - ------------ + ---------- + ------------
          2             2               2             2             2             2             2             2      

$$\left(\left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right) - 2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /   3/4 4 ___      3/4 4 ___\ /   3/4 4 ___      3/4 4 ___\ / 3/4 4 ___      3/4 4 ___\ / 3/4 4 ___      3/4 4 ___\
  |  2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 | |  2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 | |2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 | |2   *\/ 3    I*2   *\/ 3 |
1*|- ---------- - ------------|*|- ---------- + ------------|*|---------- - ------------|*|---------- + ------------|
  \      2             2      / \      2             2      / \    2             2      / \    2             2      /

$$1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{3} i}{2}\right)$$

=

6

$$6$$

Численный ответ

x1 = 1.10668191970032 - 1.10668191970032*i

x2 = 1.10668191970032 + 1.10668191970032*i

x3 = -1.10668191970032 + 1.10668191970032*i

x4 = -1.10668191970032 - 1.10668191970032*i

График