x^4+8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4+8=0

Вы ввели

 4        
x  + 8 = 0

$$x^{4} + 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} + 8 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -8 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$

Быстрый ответ

       4 ___     4 ___
x1 = - \/ 2  - I*\/ 2 

$$x_{1} = - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$

       4 ___     4 ___
x2 = - \/ 2  + I*\/ 2 

$$x_{2} = - \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$

     4 ___     4 ___
x3 = \/ 2  - I*\/ 2 

$$x_{3} = \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i$$

     4 ___     4 ___
x4 = \/ 2  + I*\/ 2 

$$x_{4} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      4 ___     4 ___     4 ___     4 ___   4 ___     4 ___   4 ___     4 ___
0 + - \/ 2  - I*\/ 2  + - \/ 2  + I*\/ 2  + \/ 2  - I*\/ 2  + \/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i\right) - 2 \cdot \sqrt[4]{2}\right) + \left(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /  4 ___     4 ___\ /  4 ___     4 ___\ /4 ___     4 ___\ /4 ___     4 ___\
1*\- \/ 2  - I*\/ 2 /*\- \/ 2  + I*\/ 2 /*\\/ 2  - I*\/ 2 /*\\/ 2  + I*\/ 2 /

$$1 \left(- \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i\right) \left(- \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i\right) \left(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} i\right) \left(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2} i\right)$$

=

8

$$8$$

Численный ответ

x1 = -1.18920711500272 + 1.18920711500272*i

x2 = 1.18920711500272 + 1.18920711500272*i

x3 = -1.18920711500272 - 1.18920711500272*i

x4 = 1.18920711500272 - 1.18920711500272*i

График