x^4=10 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=10

Вы ввели

 4     
x  = 10

$$x^{4} = 10$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 10$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{10}$$
$$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{10}$$
или
$$x = \sqrt[4]{10}$$
$$x = - \sqrt[4]{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 10^1/4

Получим ответ: x = 10^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -10^1/4

Получим ответ: x = -10^(1/4)
или
$$x_{1} = - \sqrt[4]{10}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{10}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 10$$
где
$$r = \sqrt[4]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{10}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{10}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{10} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{10} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{10}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{10}$$
$$x_{3} = - \sqrt[4]{10} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{10} i$$

Быстрый ответ

      4 ____
x1 = -\/ 10 

$$x_{1} = - \sqrt[4]{10}$$

     4 ____
x2 = \/ 10 

$$x_{2} = \sqrt[4]{10}$$

        4 ____
x3 = -I*\/ 10 

$$x_{3} = - \sqrt[4]{10} i$$

       4 ____
x4 = I*\/ 10 

$$x_{4} = \sqrt[4]{10} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

  4 ____   4 ____     4 ____     4 ____
- \/ 10  + \/ 10  - I*\/ 10  + I*\/ 10 

$$\left(\left(- \sqrt[4]{10} + \sqrt[4]{10}\right) - \sqrt[4]{10} i\right) + \sqrt[4]{10} i$$

=

0

$$0$$

произведение

 4 ____ 4 ____ /   4 ____\   4 ____
-\/ 10 *\/ 10 *\-I*\/ 10 /*I*\/ 10 

$$\sqrt[4]{10} i - \sqrt[4]{10} \sqrt[4]{10} \left(- \sqrt[4]{10} i\right)$$

=

-10

$$-10$$

Численный ответ

x1 = 1.77827941003892*i

x2 = 1.77827941003892

x3 = -1.77827941003892

x4 = -1.77827941003892*i

График