x^4=(2x-8)^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=(2x-8)^2

Вы ввели

 4            2
x  = (2*x - 8) 

$$x^{4} = \left(2 x - 8\right)^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} = \left(2 x - 8\right)^{2}$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 2\right) \left(x + 4\right) \left(x^{2} - 2 x + 8\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 2 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$x^{2} - 2 x + 8 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x1 = 2
2.
$$x + 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4$$
Получим ответ: x2 = -4
3.
$$x^{2} - 2 x + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (8) = -28

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = 1 + \sqrt{7} i$$
Упростить
$$x_{4} = 1 - \sqrt{7} i$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{7} i$$
$$x_{4} = 1 - \sqrt{7} i$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

             ___
x3 = 1 - I*\/ 7 

$$x_{3} = 1 - \sqrt{7} i$$

             ___
x4 = 1 + I*\/ 7 

$$x_{4} = 1 + \sqrt{7} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___           ___
0 - 4 + 2 + 1 - I*\/ 7  + 1 + I*\/ 7 

$$\left(\left(\left(-4 + 0\right) + 2\right) + \left(1 - \sqrt{7} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{7} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ___\ /        ___\
1*-4*2*\1 - I*\/ 7 /*\1 + I*\/ 7 /

$$1 \left(-4\right) 2 \cdot \left(1 - \sqrt{7} i\right) \left(1 + \sqrt{7} i\right)$$

=

-64

$$-64$$

Численный ответ

x1 = 1.0 - 2.64575131106459*i

x2 = 2.0

x3 = -4.0

x4 = 1.0 + 2.64575131106459*i

График