x^4=225 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=225

Вы ввели

 4      
x  = 225

$$x^{4} = 225$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 225$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{225}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{225} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt{15}$$
$$x = - \sqrt{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = sqrt15

Получим ответ: x = sqrt(15)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -sqrt15

Получим ответ: x = -sqrt(15)
или
$$x_{1} = - \sqrt{15}$$
$$x_{2} = \sqrt{15}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 225$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 225$$
где
$$r = \sqrt{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{15}$$
$$z_{2} = \sqrt{15}$$
$$z_{3} = - \sqrt{15} i$$
$$z_{4} = \sqrt{15} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{15}$$
$$x_{2} = \sqrt{15}$$
$$x_{3} = - \sqrt{15} i$$
$$x_{4} = \sqrt{15} i$$

Быстрый ответ

        ____
x1 = -\/ 15 

$$x_{1} = - \sqrt{15}$$

       ____
x2 = \/ 15 

$$x_{2} = \sqrt{15}$$

          ____
x3 = -I*\/ 15 

$$x_{3} = - \sqrt{15} i$$

         ____
x4 = I*\/ 15 

$$x_{4} = \sqrt{15} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      ____     ____       ____       ____
0 - \/ 15  + \/ 15  - I*\/ 15  + I*\/ 15 

$$\left(\left(\left(- \sqrt{15} + 0\right) + \sqrt{15}\right) - \sqrt{15} i\right) + \sqrt{15} i$$

=

0

$$0$$

произведение

     ____   ____      ____     ____
1*-\/ 15 *\/ 15 *-I*\/ 15 *I*\/ 15 

$$\sqrt{15} i - \sqrt{15} i \sqrt{15} \cdot 1 \left(- \sqrt{15}\right)$$

=

-225

$$-225$$

Численный ответ

x1 = -3.87298334620742*i

x2 = 3.87298334620742*i

x3 = 3.87298334620742

x4 = -3.87298334620742

График