x^4=256 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=256

Вы ввели

 4      
x  = 256

$$x^{4} = 256$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 256$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 4$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = -4$$
или
$$x = 4$$
$$x = -4$$
Получим ответ: x = 4
Получим ответ: x = -4
или
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 256$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 256$$
где
$$r = 4$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -4$$
$$z_{2} = 4$$
$$z_{3} = - 4 i$$
$$z_{4} = 4 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = - 4 i$$
$$x_{4} = 4 i$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

x2 = 4

$$x_{2} = 4$$

x3 = -4*I

$$x_{3} = - 4 i$$

x4 = 4*I

$$x_{4} = 4 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 4 + 4 - 4*I + 4*I

$$\left(\left(\left(-4 + 0\right) + 4\right) - 4 i\right) + 4 i$$

=

0

$$0$$

произведение

1*-4*4*-4*I*4*I

$$4 i - 4 i 1 \left(-4\right) 4$$

=

-256

$$-256$$

Численный ответ

x1 = 4.0

x2 = 4.0*i

x3 = -4.0*i

x4 = -4.0

График