x^4=-24 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=-24

Вы ввели

 4      
x  = -24

$$x^{4} = -24$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = -24$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -24 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -24$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -24$$
где
$$r = \sqrt[4]{24}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{2} = - \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{3} = \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$

Быстрый ответ

       4 ___     4 ___
x1 = - \/ 6  - I*\/ 6 

$$x_{1} = - \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$

       4 ___     4 ___
x2 = - \/ 6  + I*\/ 6 

$$x_{2} = - \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$

     4 ___     4 ___
x3 = \/ 6  - I*\/ 6 

$$x_{3} = \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i$$

     4 ___     4 ___
x4 = \/ 6  + I*\/ 6 

$$x_{4} = \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      4 ___     4 ___     4 ___     4 ___   4 ___     4 ___   4 ___     4 ___
0 + - \/ 6  - I*\/ 6  + - \/ 6  + I*\/ 6  + \/ 6  - I*\/ 6  + \/ 6  + I*\/ 6 

$$\left(\left(\sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i\right) - 2 \cdot \sqrt[4]{6}\right) + \left(\sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /  4 ___     4 ___\ /  4 ___     4 ___\ /4 ___     4 ___\ /4 ___     4 ___\
1*\- \/ 6  - I*\/ 6 /*\- \/ 6  + I*\/ 6 /*\\/ 6  - I*\/ 6 /*\\/ 6  + I*\/ 6 /

$$1 \left(- \sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i\right) \left(- \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i\right) \left(\sqrt[4]{6} - \sqrt[4]{6} i\right) \left(\sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i\right)$$

=

24

$$24$$

Численный ответ

x1 = -1.56508458007329 + 1.56508458007329*i

x2 = -1.56508458007329 - 1.56508458007329*i

x3 = 1.56508458007329 - 1.56508458007329*i

x4 = 1.56508458007329 + 1.56508458007329*i

График