x^4 = -3 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4 = -3

Вы ввели

 4     
x  = -3

$$x^{4} = -3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = -3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -3 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -3$$
где
$$r = \sqrt[4]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

         ___ 4 ___       ___ 4 ___
       \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
x1 = - ----------- - -------------
            2              2      

$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$

         ___ 4 ___       ___ 4 ___
       \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = - ----------- + -------------
            2              2      

$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$

       ___ 4 ___       ___ 4 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = ----------- - -------------
          2              2      

$$x_{3} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$

       ___ 4 ___       ___ 4 ___
     \/ 2 *\/ 3    I*\/ 2 *\/ 3 
x4 = ----------- + -------------
          2              2      

$$x_{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.9306048591021 - 0.9306048591021*i

x2 = -0.9306048591021 + 0.9306048591021*i

x3 = 0.9306048591021 + 0.9306048591021*i

x4 = 0.9306048591021 - 0.9306048591021*i

График