x^4=(1/2) (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=(1/2)

Вы ввели

 4      
x  = 1/2

$$x^{4} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = \frac{1}{2}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \left(-1\right)$$
или
$$x = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$x = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^3/4/2

Получим ответ: x = 2^(3/4)/2
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^3/4/2

Получим ответ: x = -2^(3/4)/2
или
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{1}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{1}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

Быстрый ответ

       3/4 
     -2    
x1 = ------
       2   

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$

      3/4
     2   
x2 = ----
      2  

$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}$$

         3/4 
     -I*2    
x3 = --------
        2    

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

        3/4
     I*2   
x4 = ------
       2   

$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     3/4    3/4      3/4      3/4
    2      2      I*2      I*2   
0 - ---- + ---- - ------ + ------
     2      2       2        2   

$$\left(\left(\left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} + 0\right) + \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}\right) - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right) + \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$

=

0

$$0$$

произведение

    3/4   3/4     3/4     3/4
  -2     2    -I*2     I*2   
1*------*----*--------*------
    2     2      2       2   

$$\frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \cdot 1 \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}\right)$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.840896415253715*i

x2 = -0.840896415253715

x3 = 0.840896415253715

x4 = -0.840896415253715*i

График