x^4=1/16 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=1/16

Вы ввели

 4       
x  = 1/16

$$x^{4} = \frac{1}{16}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = \frac{1}{16}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \frac{1}{2}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = - \frac{1}{2}$$
или
$$x = \frac{1}{2}$$
$$x = - \frac{1}{2}$$
Получим ответ: x = 1/2
Получим ответ: x = -1/2
или
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = \frac{1}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = \frac{1}{16}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{2} = \frac{1}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1/2

$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

x2 = 1/2

$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

     -I 
x3 = ---
      2 

$$x_{3} = - \frac{i}{2}$$

     I
x4 = -
     2

$$x_{4} = \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                I   I
0 - 1/2 + 1/2 - - + -
                2   2

$$\left(\left(\left(- \frac{1}{2} + 0\right) + \frac{1}{2}\right) - \frac{i}{2}\right) + \frac{i}{2}$$

=

0

$$0$$

произведение

           -I  I
1*-1/2*1/2*---*-
            2  2

$$\frac{i}{2} - \frac{i}{2} 1 \left(- \frac{1}{2}\right) \frac{1}{2}$$

=

-1/16

$$- \frac{1}{16}$$

Численный ответ

x1 = -0.5*i

x2 = 0.5

x3 = -0.5

x4 = 0.5*i

График