x^4=324 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=324

Вы ввели

 4      
x  = 324

$$x^{4} = 324$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 324$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{324}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{324} \left(-1\right)$$
или
$$x = 3 \sqrt{2}$$
$$x = - 3 \sqrt{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3*sqrt2

Получим ответ: x = 3*sqrt(2)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -3*sqrt2

Получим ответ: x = -3*sqrt(2)
или
$$x_{1} = - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 \sqrt{2}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 324$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 324$$
где
$$r = 3 \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 3 \sqrt{2}$$
$$z_{2} = 3 \sqrt{2}$$
$$z_{3} = - 3 \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = 3 \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 3 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = - 3 \sqrt{2} i$$
$$x_{4} = 3 \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

          ___
x1 = -3*\/ 2 

$$x_{1} = - 3 \sqrt{2}$$

         ___
x2 = 3*\/ 2 

$$x_{2} = 3 \sqrt{2}$$

            ___
x3 = -3*I*\/ 2 

$$x_{3} = - 3 \sqrt{2} i$$

           ___
x4 = 3*I*\/ 2 

$$x_{4} = 3 \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___         ___         ___
0 - 3*\/ 2  + 3*\/ 2  - 3*I*\/ 2  + 3*I*\/ 2 

$$\left(\left(\left(- 3 \sqrt{2} + 0\right) + 3 \sqrt{2}\right) - 3 \sqrt{2} i\right) + 3 \sqrt{2} i$$

=

0

$$0$$

произведение

       ___     ___        ___       ___
1*-3*\/ 2 *3*\/ 2 *-3*I*\/ 2 *3*I*\/ 2 

$$3 \sqrt{2} i - 3 \sqrt{2} i 3 \sqrt{2} \cdot 1 \left(- 3 \sqrt{2}\right)$$

=

-324

$$-324$$

Численный ответ

x1 = 4.24264068711928

x2 = -4.24264068711928

x3 = -4.24264068711928*i

x4 = 4.24264068711928*i

График