x^4=80 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=80

Вы ввели

 4     
x  = 80

$$x^{4} = 80$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 80$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
или
$$x = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$x = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2*5^1/4

Получим ответ: x = 2*5^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2*5^1/4

Получим ответ: x = -2*5^(1/4)
или
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 80$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 80$$
где
$$r = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$z_{2} = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$z_{3} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$
$$z_{4} = 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$x_{2} = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$
$$x_{3} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$
$$x_{4} = 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$

Быстрый ответ

        4 ___
x1 = -2*\/ 5 

$$x_{1} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$

       4 ___
x2 = 2*\/ 5 

$$x_{2} = 2 \cdot \sqrt[4]{5}$$

          4 ___
x3 = -2*I*\/ 5 

$$x_{3} = - 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$

         4 ___
x4 = 2*I*\/ 5 

$$x_{4} = 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

      4 ___     4 ___       4 ___       4 ___
0 - 2*\/ 5  + 2*\/ 5  - 2*I*\/ 5  + 2*I*\/ 5 

$$\left(\left(\left(- 2 \cdot \sqrt[4]{5} + 0\right) + 2 \cdot \sqrt[4]{5}\right) - 2 \cdot \sqrt[4]{5} i\right) + 2 \cdot \sqrt[4]{5} i$$

=

0

$$0$$

произведение

     4 ___   4 ___      4 ___     4 ___
1*-2*\/ 5 *2*\/ 5 *-2*I*\/ 5 *2*I*\/ 5 

$$2 \cdot \sqrt[4]{5} i - 2 \cdot \sqrt[4]{5} i 2 \cdot \sqrt[4]{5} \cdot 1 \left(- 2 \cdot \sqrt[4]{5}\right)$$

=

-80

$$-80$$

Численный ответ

x1 = -2.99069756244244

x2 = 2.99069756244244*i

x3 = 2.99069756244244

x4 = -2.99069756244244*i

График