x^4=81 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=81

Вы ввели

 4     
x  = 81

$$x^{4} = 81$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 81$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = 3$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = -3$$
или
$$x = 3$$
$$x = -3$$
Получим ответ: x = 3
Получим ответ: x = -3
или
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - 3 i$$
$$x_{4} = 3 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 3 + 3 - 3*I + 3*I

$$\left(\left(\left(-3 + 0\right) + 3\right) - 3 i\right) + 3 i$$

=

0

$$0$$

произведение

1*-3*3*-3*I*3*I

$$3 i - 3 i 1 \left(-3\right) 3$$

=

-81

$$-81$$

Быстрый ответ

x1 = -3

$$x_{1} = -3$$

x2 = 3

$$x_{2} = 3$$

x3 = -3*I

$$x_{3} = - 3 i$$

x4 = 3*I

$$x_{4} = 3 i$$

Численный ответ

x1 = 3.0

x2 = -3.0*i

x3 = 3.0*i

x4 = -3.0

График