x^4=86 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=86

Вы ввели

 4     
x  = 86

$$x^{4} = 86$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = 86$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{86}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = - \sqrt[4]{86}$$
или
$$x = \sqrt[4]{86}$$
$$x = - \sqrt[4]{86}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 86^1/4

Получим ответ: x = 86^(1/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -86^1/4

Получим ответ: x = -86^(1/4)
или
$$x_{1} = - \sqrt[4]{86}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{86}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 86$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 86$$
где
$$r = \sqrt[4]{86}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[4]{86}$$
$$z_{2} = \sqrt[4]{86}$$
$$z_{3} = - \sqrt[4]{86} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{86} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[4]{86}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{86}$$
$$x_{3} = - \sqrt[4]{86} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{86} i$$

Быстрый ответ

      4 ____
x1 = -\/ 86 

$$x_{1} = - \sqrt[4]{86}$$

     4 ____
x2 = \/ 86 

$$x_{2} = \sqrt[4]{86}$$

        4 ____
x3 = -I*\/ 86 

$$x_{3} = - \sqrt[4]{86} i$$

       4 ____
x4 = I*\/ 86 

$$x_{4} = \sqrt[4]{86} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

    4 ____   4 ____     4 ____     4 ____
0 - \/ 86  + \/ 86  - I*\/ 86  + I*\/ 86 

$$\left(\left(\left(- \sqrt[4]{86} + 0\right) + \sqrt[4]{86}\right) - \sqrt[4]{86} i\right) + \sqrt[4]{86} i$$

=

0

$$0$$

произведение

   4 ____ 4 ____    4 ____   4 ____
1*-\/ 86 *\/ 86 *-I*\/ 86 *I*\/ 86 

$$\sqrt[4]{86} i - \sqrt[4]{86} i \sqrt[4]{86} \cdot 1 \left(- \sqrt[4]{86}\right)$$

=

-86

$$-86$$

Численный ответ

x1 = 3.04526164647567*i

x2 = -3.04526164647567*i

x3 = -3.04526164647567

x4 = 3.04526164647567

График