x^4=x (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4=x

Вы ввели

 4    
x  = x

$$x^{4} = x$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{4} = x$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{3}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - - -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x4 = - - + -------
       2      2   

$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
1 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2   

$$\left(1 + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
0*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      2   / \  2      2   /

$$0 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = -0.5 - 0.866025403784439*i

x3 = 0.0

x4 = -0.5 + 0.866025403784439*i

График