- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- 2/5*x+4=0
- x^3-x^2-4x+4=0
- 324:x=9
- x^2+2x+18=0
- Х+2х-4=0
- -х²+75х+574=0
- Сумма корней:
- 7*x^2-1=0
- 3*x^2+5*x-2=0
- x^2-8*x+12=0
- x^2-6*x-14=0
- 20*x^2-x-1=0
- z^2-3*z+9=0
- Произведение корней:
- x^4-6*x^3+7*x^2+18=0
- (1/3)^x=sqrt(x+83)
- 4^(x+3)=11^x
- y/44=3
- x^3=11
- 23*x/(2*x^2+15)=2
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 4*x-3*y=-5
- 5*x-7*y=-11
- 3*x-9*y=18
- -7*x-2*y=9
- 9*x-1*y=5
- -9*x-8*y=0
- Производная:
- x^9
- Интеграл:
- x^9
- Предел функции:
- x^9
Идентичные выражения
- x^ девять =- пятьсот двенадцать
- х в степени 9 равно минус 512
- х в степени девять равно минус пятьсот двенадцать
- x9=-512
- x⁹=-512
Похожие выражения
- (x-7)^9=-512
- 2*x^4-512*x^3 = 0
- x^9=+512
- x^9=8
- x^3-512=0
- 27-x^9=0
- 2,26x^9-3,12x^9+0,87x^9=0,01
- Информация для покупателей
x^9=-512 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x^9=-512
Решение
Подробное решение
$$x^{9} = -512$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{-512}$$
или
$$x = 2 \sqrt[9]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x = -2*1^1/9
Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/9)
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = -512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = -512$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9} + \frac{\pi}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{2} = - 2 \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{3} = - 2 \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 4 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{4} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 4 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
2/pi\ 2/pi\
x1 = - 2*cos |--| - 2*sin |--|
\9 / \9 / / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\
x2 = I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----|
\ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\
x3 = I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----|
\ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\
x4 = I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----|
\ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\
x5 = I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----|
\ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\
x6 = - cos|--| + I*|- sin|--| + \/ 3 *cos|--|| - \/ 3 *sin|--|
\9 / \ \9 / \9 // \9 / /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\
x7 = - cos|--| + I*|- sin|--| - \/ 3 *cos|--|| + \/ 3 *sin|--|
\9 / \ \9 / \9 // \9 / /pi\ /pi\
x8 = 2*cos|--| + 2*I*sin|--|
\9 / \9 / 2/pi\ 2/pi\ /pi\ /pi\
x9 = - 2*cos |--| + 2*sin |--| - 4*I*cos|--|*sin|--|
\9 / \9 / \9 / \9 /
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/pi\ 2/pi\ / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\ / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\ / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\ / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\ /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\ /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\ /pi\ /pi\ 2/pi\ 2/pi\ /pi\ /pi\
0 + - 2*cos |--| - 2*sin |--| + I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----| + I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----| + I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----| + I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----| + - cos|--| + I*|- sin|--| + \/ 3 *cos|--|| - \/ 3 *sin|--| + - cos|--| + I*|- sin|--| - \/ 3 *cos|--|| + \/ 3 *sin|--| + 2*cos|--| + 2*I*sin|--| + - 2*cos |--| + 2*sin |--| - 4*I*cos|--|*sin|--|
\9 / \9 / \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / \9 / \ \9 / \9 // \9 / \9 / \ \9 / \9 // \9 / \9 / \9 / \9 / \9 / \9 / \9 /=
2/pi\ / /pi\ ___ /pi\\ / /pi\ ___ /pi\\ / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /pi\
- 4*cos |--| + I*|- sin|--| + \/ 3 *cos|--|| + I*|- sin|--| - \/ 3 *cos|--|| + I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*I*sin|--| + 4*cos|--|*cos|----| + 4*cos|--|*cos|----| - 4*I*cos|--|*sin|--|
\9 / \ \9 / \9 // \ \9 / \9 // \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \9 / \ 9 / \9 / \ 9 / \9 / \9 /произведение
/ 2/pi\ 2/pi\\ / / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\\ / / /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\\ /pi\ /2*pi\ /pi\ /2*pi\\ / / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\\ / / /pi\ /4*pi\ /4*pi\ /pi\\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\\ / /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\\ / /pi\ / /pi\ ___ /pi\\ ___ /pi\\ / /pi\ /pi\\ / 2/pi\ 2/pi\ /pi\ /pi\\ 1*|- 2*cos |--| - 2*sin |--||*|I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----||*|I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----||*|I*|2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| - 2*sin|--|*sin|----| + 2*cos|--|*cos|----||*|I*|- 2*cos|--|*sin|----| + 2*cos|----|*sin|--|| + 2*cos|--|*cos|----| + 2*sin|--|*sin|----||*|- cos|--| + I*|- sin|--| + \/ 3 *cos|--|| - \/ 3 *sin|--||*|- cos|--| + I*|- sin|--| - \/ 3 *cos|--|| + \/ 3 *sin|--||*|2*cos|--| + 2*I*sin|--||*|- 2*cos |--| + 2*sin |--| - 4*I*cos|--|*sin|--|| \ \9 / \9 // \ \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 // \ \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 // \ \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 // \ \ \9 / \ 9 / \ 9 / \9 // \9 / \ 9 / \9 / \ 9 // \ \9 / \ \9 / \9 // \9 // \ \9 / \ \9 / \9 // \9 // \ \9 / \9 // \ \9 / \9 / \9 / \9 //
=
/ / /pi\ \\ / / /pi\ \\ 2*pi*I | |cos|--| ___ || | |cos|--| ___ || ------ |1 | \18/ \/ 3 /pi\ /pi\|| / ___\ | /pi\ | \18/ \/ 3 /pi\ /pi\|| / /pi\ /pi\\ / /2*pi\ /5*pi\\ 9 |- + I*|------- - ----- - cos|--|*cos|--|||*\256 + 256*I*\/ 3 /*|- sin|--| + I*|------- - ----- + cos|--|*cos|--|||*|I*cos|--| + sin|--||*|- I*sin|----| + sin|----||*e \2 \ 2 4 \9 / \18/// \ \18/ \ 2 4 \9 / \18/// \ \18/ \18// \ \ 9 / \ 18 //
Численный ответ
[src]
x1 = -0.347296355333861 + 1.96961550602442*i
x2 = -1.53208888623796 + 1.28557521937308*i
x3 = 1.87938524157182 - 0.684040286651337*i
x4 = -1.53208888623796 - 1.28557521937308*i
x5 = -2.0
x6 = 1.87938524157182 + 0.684040286651337*i
x7 = -0.347296355333861 - 1.96961550602442*i
x8 = 1.0 + 1.73205080756888*i
x9 = 1.0 - 1.73205080756888*i
График