x^9=512 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^9=512

Вы ввели

 9      
x  = 512

$$x^{9} = 512$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = 512$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{512}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = 512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 512$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$z_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

              ___
x2 = -1 - I*\/ 3 

$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$

              ___
x3 = -1 + I*\/ 3 

$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$

            /pi\          /pi\
x4 = - 2*cos|--| - 2*I*sin|--|
            \9 /          \9 /

$$x_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

            /pi\          /pi\
x5 = - 2*cos|--| + 2*I*sin|--|
            \9 /          \9 /

$$x_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

          /2*pi\          /2*pi\
x6 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
          \ 9  /          \ 9  /

$$x_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

          /2*pi\          /2*pi\
x7 = 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
          \ 9  /          \ 9  /

$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

          /4*pi\          /4*pi\
x8 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
          \ 9  /          \ 9  /

$$x_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

          /4*pi\          /4*pi\
x9 = 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
          \ 9  /          \ 9  /

$$x_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                 ___            ___          /pi\          /pi\          /pi\          /pi\        /2*pi\          /2*pi\        /2*pi\          /2*pi\        /4*pi\          /4*pi\        /4*pi\          /4*pi\
0 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3  + - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| + - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| + 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + 2*cos|----| + 2*I*sin|----| + 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
                                             \9 /          \9 /          \9 /          \9 /        \ 9  /          \ 9  /        \ 9  /          \ 9  /        \ 9  /          \ 9  /        \ 9  /          \ 9  /

$$\left(\left(2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) - \left(- 4 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

       /pi\        /2*pi\        /4*pi\
- 4*cos|--| + 4*cos|----| + 4*cos|----|
       \9 /        \ 9  /        \ 9  /

$$- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

произведение

    /         ___\ /         ___\ /       /pi\          /pi\\ /       /pi\          /pi\\ /     /2*pi\          /2*pi\\ /     /2*pi\          /2*pi\\ /     /4*pi\          /4*pi\\ /     /4*pi\          /4*pi\\
1*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*|- 2*cos|--| - 2*I*sin|--||*|- 2*cos|--| + 2*I*sin|--||*|2*cos|----| - 2*I*sin|----||*|2*cos|----| + 2*I*sin|----||*|2*cos|----| - 2*I*sin|----||*|2*cos|----| + 2*I*sin|----||
                                  \       \9 /          \9 // \       \9 /          \9 // \     \ 9  /          \ 9  // \     \ 9  /          \ 9  // \     \ 9  /          \ 9  // \     \ 9  /          \ 9  //

$$1 \cdot 2 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) \left(2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

                4/pi\           6/pi\           6/pi\           2/pi\
-1536 - 6144*sin |--| + 2048*cos |--| + 2048*sin |--| + 6144*sin |--|
                 \9 /            \9 /            \9 /            \9 /

$$-1536 - 6144 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2048 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 6144 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2048 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = -1.0 - 1.73205080756888*i

x2 = 0.347296355333861 - 1.96961550602442*i

x3 = 2.0

x4 = 0.347296355333861 + 1.96961550602442*i

x5 = -1.87938524157182 - 0.684040286651337*i

x6 = 1.53208888623796 - 1.28557521937308*i

x7 = -1.0 + 1.73205080756888*i

x8 = -1.87938524157182 + 0.684040286651337*i

x9 = 1.53208888623796 + 1.28557521937308*i

График