х^2-5х+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: х^2-5х+1=0

Вы ввели

 2              
x  - 5*x + 1 = 0

$$x^{2} - 5 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (1) = 21

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

           ____
     5   \/ 21 
x1 = - - ------
     2     2   

$$x_{1} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$

           ____
     5   \/ 21 
x2 = - + ------
     2     2   

$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ____         ____
    5   \/ 21    5   \/ 21 
0 + - - ------ + - + ------
    2     2      2     2   

$$\left(0 + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right)$$

=

5

$$5$$

произведение

  /      ____\ /      ____\
  |5   \/ 21 | |5   \/ 21 |
1*|- - ------|*|- + ------|
  \2     2   / \2     2   /

$$1 \cdot \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = 5$$
$$x_{1} x_{2} = 1$$

Численный ответ

x1 = 0.20871215252208

x2 = 4.79128784747792

График